等差數(shù)列求和公式有哪些

等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d

前n項(xiàng)和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2

若公差d=1時(shí)：Sn=(a1+an)n/2

若m+n=p+q則：存在am+an=ap+aq

若m+n=2p則：am+an=2ap

第n項(xiàng)的值an=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差

前n項(xiàng)的和Sn=首項(xiàng)+末項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)(項(xiàng)數(shù)-1)公差/2

公差d=(an-a1)÷(n-1)

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1

數(shù)列為奇數(shù)項(xiàng)時(shí)，前n項(xiàng)的和=中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)

數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，求首尾項(xiàng)相加，用它的和除以2

等差中項(xiàng)公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列

以上n均為正整數(shù)

等差數(shù)列求和的基本方法

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，首先我們看一下他的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……(2n-1)，他的公差是2。

他的推導(dǎo)公式及其證明思路要看清楚，并且一定要自己親自動手重新證明下，就算是寫一下也是好的?？傊拍畹臇|西一定要把它吃透，后面的東西都是圍繞概念來展開的，他是核心。還有他的很多性質(zhì)，在書中的證明的啟發(fā)下，可以自己嘗試證明，這樣以期收到深刻的印象，和真正深入透徹了解數(shù)列求和，抓住核心!

從其定義來看，要求和。我們可以把主要著眼點(diǎn)：公差、性質(zhì)。弄清楚這兩點(diǎn)之后根據(jù)題目來審題，找出隱含條件來。

等差數(shù)列公式

1.定義式

2.通項(xiàng)公式

3.求和公式

4.前n項(xiàng)和公式

等差數(shù)列推論

(1)從通項(xiàng)公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項(xiàng)和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項(xiàng)為0。

(2)從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

(3)若m，n，p，q∈N__，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)__a(n)，S(2n+1)=(2n+1)__a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)__k-S(n-1)__k…成等差數(shù)列，等等。若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2__a(p)。

證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)__m+b(0)+b(1)__n=2__b(0)+b(1)__(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)__p+b(0)+b(1)__q=2__b(0)+b(1)__(p+q);因?yàn)閙+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

(4)其他推論：

①和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2;

②項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1;

③首項(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)或末項(xiàng)-公差×(項(xiàng)數(shù)-1);

④末項(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng);

⑤末項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差;

⑥2(前2n項(xiàng)和-前n項(xiàng)和)=前n項(xiàng)和+前3n項(xiàng)和-前2n項(xiàng)和。

數(shù)列求和方法

1、公式法

2、錯(cuò)位相減法

3、倒序相加法

4、分組法

5、裂項(xiàng)相消法

6、數(shù)學(xué)歸納法

7、通項(xiàng)化歸法

先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求和。

如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項(xiàng)和。此時(shí)先將an求出，再利用分組等方法求和。

8、并項(xiàng)求和法

(常采用先試探后求和的方法)

例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一：(并項(xiàng))

求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。

方法二：

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三：

構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。

an=n(-1)^(n+1)

9、求和公式