q≠1時 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q=1時Sn=na1

(a1為首項,an為第n項,d為公差,q 為等比)

這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠0。注：q=1時，{an}為常數列。利用等比數列求和公式可以快速的計算出該數列的和。

等比數列的概念

1、等比數列的定義：

一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于一個常數(不為0)，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用q來表示。

定義可以用公式表達為：a(n+1)/an=q(式中n為正整數，q為常數)。特別注意的是，q是一個與項數n無關的常數

2、等比中項：

三個數 a、G、b依次組成等比數列，則G叫做的等比中項，且G2=a+b(等比中項的平方等于前項與后項之積)。

等差數列求和公式

1、等差數列基本公式：末項=首項+(項數-1)__公差項數=(末項-首項)÷公差+1首項=末項-(項數-1)__公差和=(首項+末項)__項數÷2末項：最后一位數首項：第一位數項數：一共有幾位數和：求一共數的總和。

2、Sn=na(n+1)/2n為奇數

sn=n/2(An/2+An/2+1)n為偶數

3、等差數列如果有奇數項，那么和就等于中間一項乘以項數，如果有偶數項，和就等于中間兩項和乘以項數的一半，這就是中項求和。

4、公差為d的等差數列{an｝，當n為奇數是時，等差中項為一項，即等差中項等于首尾兩項和的二分之一，也等于總和Sn除以項數n。將求和公式代入即可。當n為偶數時，等差中項為中間兩項，這兩項的和等于首尾兩項和，也等于二倍的總和除以項數n。

一.用倒序相加法求數列的前n項和

如果一個數列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數列的`和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”。

例題1：設等差數列{an}，公差為d，求證：{an}的前n項和Sn=n(a1+an)/2

解：Sn=a1+a2+a3+...+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②

①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2

二.用公式法求數列的前n項和

對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用范圍，確定公式適用于這個數列之后，再計算。

三.用裂項相消法求數列的前n項和

裂項相消法是將數列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數列的前n項和。

四.用錯位相減法求數列的前n項和

錯位相減法是一種常用的數列求和方法，應用于等比數列與等差數列相乘的形式。即若在數列{an·bn}中，{an}成等差數列，{bn}成等比數列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。

五.用迭加法求數列的前n項和

迭加法主要應用于數列{an}滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數列或等比數列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經過整理，可求出an ，從而求出Sn。

六.用分組求和法求數列的前n項和

分組求和法就是對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并。

七.用構造法求數列的前n項和

構造法就是先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項的特征，構造出我們熟知的基本數列的通項的特征形式，從而求出數列的前n項和。

數列求和的七種方法

1、倒序相加法

倒序相加法如果一個數列{an}滿足與首末兩項等“距離”的兩項的和相等(或等于同一常數)，那么求這個數列的前n項和，可用倒序相加法。

2、分組求和法

分組求和法一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成，求和時可用分組求和法，分別求和而后相加。

3、錯位相減法

錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的。

4、裂項相消法

裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。

5、乘公比錯項相減(等差×等比)

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列。

6、公式法

對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用范圍，確定公式適用于這個數列之后，再計算。

7、迭加法

主要應用于數列{an}滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數列或等比數列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經過整理，可求出an，從而求出Sn。