橢圓的面積公式

S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).

或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).

橢圓的周長公式

橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。

橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如

L = ∫[0,π/2]4a _ sqrt(1-(e_cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率

橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應準線距離為PL，則

e=PF/PL

橢圓的準線方程

x=±a^2/C

橢圓的離心率公式

e=c/a(e<1,因為2a>2c)

橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點(c,0)與準線x=+a^2/C)的距離,數值=b^2/c

橢圓焦半徑公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0

橢圓過右焦點的半徑r=a-ex

過左焦點的半徑r=a+ex

橢圓的通徑：過焦點的垂直于x軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數值=2b^2/a

點與橢圓位置關系 點M(x0，y0) 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1

點在圓內： x0^2/a^2+y0^2/b^2<1

點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2>1

直線與橢圓位置關系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1

相切△=0

相離△<0無交點

相交△>0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

橢圓通徑(定義：圓錐曲線(除圓外)中，過焦點并垂直于軸的弦)公式：2b^2/a

橢圓的斜率公式　過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點(x，y)的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y

橢圓是平面內到定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的動點P的軌跡，F1、F2稱為橢圓的兩個焦點。其數學表達式為：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)。

第一定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數2a(2a≥|F1F2|)的動點P的軌跡叫做橢圓。即：其中兩定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離|F1F2|=2c≤2a叫做橢圓的焦距。P為橢圓的動點。

第二定義：橢圓平面內到定點F(c，0)的距離和到定直線l：x=a?/c(F不在l上)的距離之比為常數從C/A,(即離心率，0<e<1)的點的軌跡是橢圓。< p="">

第三定義：平面內的動點到兩定點A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘積，等于常數 e?-1的點的軌跡，叫做橢圓或雙曲線，其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點;當常數大于-1小于0時為橢圓;當常數大于0時為雙曲線。

橢圓的標準方程

橢圓的標準方程共分兩種情況：

當焦點在x軸時，橢圓的標準方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0);

當焦點在y軸時，橢圓的標準方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0);

其中a^2-c^2=b^2

推導:PF1+PF2>F1F2(P為橢圓上的點F為焦點)

橢圓的對稱性

不論焦點在X軸還是Y軸，橢圓始終關于X/Y/原點對稱。

頂點：

焦點在X軸時：長軸頂點：(-a，0)，(a，0)

短軸頂點：(0，b)，(0，-b)

焦點在Y軸時：長軸頂點：(0,-a)，(0,a)

短軸頂點：(b,0)，(-b,0)

注意長短軸分別代表哪一條軸，在此容易引起混亂，還需數形結合逐步理解透徹。

焦點：

當焦點在X軸上時焦點坐標F1(-c,0)F2(c,0)

當焦點在Y軸上時焦點坐標F1(0，-c)F2(0,c)

橢圓焦點三角形面積公式

橢圓的焦點三角形是指以橢圓的兩個焦點F1，F2與橢圓上任意一點P(不與焦點共線)為頂點組成的三角形。橢圓的焦點三角形性質為：

(1)|PF1|+|PF2|=2a

(2)4c?=|PF1|?+|PF2|?-2|PF1|·|PF2|·cosθ

(3)周長=2a+2c

(4)面積=S=b?·tan(θ/2)(∠F1PF2=θ)

證明：

設P為橢圓上的任意一點P(不與焦點共線)，

∠F2F1P=α ，∠F1F2P=β， ∠F1PF2=θ，

則有離心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，

焦點三角形面積S=b?·tan(θ/2)。