福建高考數(shù)學(xué)拋物線專項(xiàng)練習(xí)題

　　2.(2014遼寧,文8)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為(　　)

　　A.- 3B.-1 C.- 2D.-5

　　3.拋物線y=-4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　)

　　A.- 1B.- 2C.1 D.2

　　4.(2014福建泉州模擬)拋物線y=x2上一點(diǎn)到直線2x-y-4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)

　　A. B.(1,1) C. D.(2,4)

　　5.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在C上,且|AK|=|AF|,則△AFK的面積為(　　)

　　A.4 B.8 C.16 D.32

　　6.以拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為　　　　　.

　　7.已知拋物線x2=2py(p為常數(shù),p≠0)上不同兩點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)恰好是關(guān)于x的方程x2+6x+4q=0(q為常數(shù))的兩個(gè)根,則直線AB的方程為　　　　　.

　　8.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),A,B是C上的兩個(gè)點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(2,2),求△ABF的面積.

　　9.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.

　　(1)求曲線C的方程;

　　(2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0),且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

　　能力提升組

　　10.已知拋物線y2=2px,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是(　　)

　　A.相離 B.相交 C.相切 D.不確定

　　11.設(shè)x1,x2R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”,x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,)的軌跡是(　　)

　　A.圓 B.橢圓的一部分

　　C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

　　12.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若=4,則|QF|=(　　)

　　A. 1B.3 C.4 D.2

　　13.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),A,B在x軸上的正射影分別為D,C.若梯形ABCD的面積為12,則p=　　　　　.

　　14.(2014大綱全國,文22)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|PQ|.

　　(1)求C的方程;

　　(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l'與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.

　　15.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),△ADF為正三角形.

　　(1)求C的方程;

　　(2)若直線l1l,且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,

　　①證明直線AE過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);

　　②△ABE的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

　　福建高考數(shù)學(xué)拋物線專項(xiàng)練習(xí)題參考答案

　　1.C　解析:根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,雙曲線的上焦點(diǎn)為(0,2),依題意則有=2,解得a=8.

　　2.C　解析:由已知,得準(zhǔn)線方程為x=-2,

　　F的坐標(biāo)為(2,0).

　　又A(-2,3),直線AF的斜率為k==-.故選C.

　　3.B　解析:拋物線方程可化為x2=-,其準(zhǔn)線方程為y=.

　　設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知-y0=1⇒y0=-.

　　4.B　解析:設(shè)拋物線上任一點(diǎn)為(x,y),

　　則由點(diǎn)到直線的距離得

　　d=

　　=.

　　當(dāng)x=1時(shí),取得最小值,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1).

　　5.B　解析:拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線為x=-2,K(-2,0).

　　設(shè)A(x0,y0),過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線AB垂足為B,則B(-2,y0).

　　|AK|=|AF|,

　　又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,

　　由|BK|2=|AK|2-|AB|2,

　　得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,

　　解得A(2,±4).

　　故△AFK的面積為|KF|·|y0|

　　=×4×4=8.

　　6.x2+(y-4)2=64　解析:拋物線的焦點(diǎn)為F(0,4),準(zhǔn)線為y=-4,

　　則圓心為(0,4),半徑r=8.

　　故圓的方程為x2+(y-4)2=64.

　　7.3x+py+2q=0　解析:由題意知,直線AB與x軸不垂直.

　　設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,與拋物線方程聯(lián)立,得x2-2pkx-2pm=0,

　　此方程與x2+6x+4q=0同解,

　　則解得

　　故直線AB的方程為y=-x-,

　　即3x+py+2q=0.

　　8.解:由M(2,2)知,線段AB所在的直線的斜率存在,

　　設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y-2=k(x-2)(k≠0).

　　由消去y,

　　得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.①

　　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

　　則x1+x2=,

　　x1x2=.

　　由題意知=2,

　　則=4,解得k=1,

　　于是直線方程為y=x,x1x2=0.

　　因?yàn)閨AB|=|x1-x2|=4,

　　又焦點(diǎn)F(1,0)到直線y=x的距離d=,所以△ABF的面積是×4=2.

　　9.解:(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),

　　則點(diǎn)P(x,y)滿足-x=1(x>0),

　　化簡(jiǎn)得y2=4x(x>0).

　　(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).

　　設(shè)l的方程為x=ty+m.

　　由得y2-4ty-4m=0,

　　Δ=16(t2+m)>0,

　　于是

　　因?yàn)?(x1-1,y1),

　　=(x2-1,y2),

　　所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.

　　又<0,

　　所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③

　　因?yàn)閤=,所以不等式③可變形為

　　+y1y2-+1<0,

　　即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④

　　將①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤

　　因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,

　　所以不等式⑤對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0,

　　即3-20),則FD的中點(diǎn)為.

　　因?yàn)閨FA|=|FD|,

　　由拋物線的定義知3+,

　　解得t=3+p或t=-3(舍去).

　　由=3,解得p=2.

　　所以拋物線C的方程為y2=4x.

　　(2)①由(1)知F(1,0).

　　設(shè)A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),

　　因?yàn)閨FA|=|FD|,

　　則|xD-1|=x0+1.

　　由xD>0得xD=x0+2,

　　故D(x0+2,0).

　　故直線AB的斜率kAB=-.

　　因?yàn)橹本€l1和直線AB平行,設(shè)直線l1的方程為y=-x+b,

　　代入拋物線方程得y2+y-=0,

　　由題意Δ==0,

　　得b=-.

　　設(shè)E(xE,yE),

　　則yE=-,xE=.

　　當(dāng)≠4時(shí),kAE==-,

　　可得直線AE的方程為y-y0=(x-x0),

　　由=4x0,整理可得y=(x-1),

　　直線AE恒過點(diǎn)F(1,0).

　　當(dāng)=4時(shí),直線AE的方程為x=1,過點(diǎn)F(1,0).

　　所以直線AE過定點(diǎn)F(1,0).

　　②由①知直線AE過焦點(diǎn)F(1,0),

　　所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.

　　設(shè)直線AE的方程為x=my+1,

　　因?yàn)辄c(diǎn)A(x0,y0)在直線AE上,

　　故m=.

　　設(shè)B(x1,y1),

　　直線AB的方程為y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,

　　可得x=-y+2+x0,

　　代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0.

　　所以y0+y1=-,

　　可求得y1=-y0-,

　　x1=+x0+4.

　　所以點(diǎn)B到直線AE的距離為

　　d=

　　==4.

　　則△ABE的面積S=×4≥16,

　　當(dāng)且僅當(dāng)=x0,即x0=1時(shí)等號(hào)成立.

　　所以△ABE的面積的最小值為16.

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