高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點

　　導(dǎo)數(shù)的定義:

　　當自變量的增量Δx=x-x0，Δx→0時函數(shù)增量Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數(shù)f在x0點可導(dǎo)，稱之為f在x0點的導(dǎo)數(shù)(或變化率).

　　函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0[x0，f(x0)] 點的切線斜率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率)。

　　一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性(單調(diào)性)的法則：設(shè)y=f(x )在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間是單調(diào)增加的(該點切線斜率增大，函數(shù)曲線變得“陡峭”，呈上升狀)。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)<0,則f(x)在這個區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當f'(x)=0時，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值

　　求導(dǎo)數(shù)的步驟:

　　求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：

　　① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

　　② 求平均變化率

　　③ 取極限，得導(dǎo)數(shù)。

　　導(dǎo)數(shù)公式：

　　① C'=0(C為常數(shù)函數(shù));

　　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟記1/X的導(dǎo)數(shù)

　　③ (sinx)' = cosx; 　　(cosx)' = - sinx; 　　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 　　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 　　(secx)'=tanx·secx 　　(cscx)'=-cotx·cscx 　　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 　　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 　　(arctanx)'=1/(1+x^2) 　　(arccotx)'=-1/(1+x^2) 　　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) 　　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

　　④ (sinhx)'=hcoshx 　　(coshx)'=-hsinhx 　　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 　　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 　　(sechx)'=-tanhx·sechx 　　(cschx)'=-cothx·cschx 　　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 　　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 　　(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) 　　(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) 　　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) 　　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

　　⑤ (e^x)' = e^x; 　　(a^x)' = a^xlna (ln為自然對數(shù)) 　　(Inx)' = 1/x(ln為自然對數(shù)) 　　(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) 　　(1/x)'=-x^(-2)

　　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:

　　1.函數(shù)的單調(diào)性

　　(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性 　　利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 　　一般地，在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 　　如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)是常數(shù)函數(shù). 　　注意：在某個區(qū)間內(nèi)，f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時f'(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時就必須寫f'(x)≥0。

　　(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創(chuàng)新何言?1.定義最基礎(chǔ)求法2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性) 　　①確定f(x)的定義域; 　　②求導(dǎo)數(shù); 　　③由(或)解出相應(yīng)的x的范圍.當f'(x)>0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù);當f'(x)<0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).

　　2.函數(shù)的極值

　　函數(shù)的極值的判定 　　①如果在兩側(cè)符號相同，則不是f(x)的極值點; 　　②如果在附近的左右側(cè)符號不同，那么，是極大值或極小值.

　　3.求函數(shù)極值的步驟

　　①確定函數(shù)的定義域; 　　②求導(dǎo)數(shù); 　　③在定義域內(nèi)求出所有的駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點，即求方程及的所有實根; 　　④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.

　　4.函數(shù)的最值

　　(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)內(nèi)一點處取得的，顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念.

　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 　　①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值; 　　②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

　　5.生活中的優(yōu)化問題

　　生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非常現(xiàn)實的意義.這些問題通常可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值問題.

　　高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題方法

　　*(1)求函數(shù)中某參數(shù)的值或給定參數(shù)的值求導(dǎo)數(shù)或切線

　　一般來說，一到比較溫和的導(dǎo)數(shù)題的會在第一問設(shè)置這樣的問題：若f(x)在x=k時取得極值，試求所給函數(shù)中參數(shù)的值;或者是f(x)在(a,f(a))處的切線與某已知直線垂直，試求所給函數(shù)中參數(shù)的值等等很多條件。雖然會有很多的花樣，但只要明白他們的本質(zhì)是考察大家求導(dǎo)數(shù)的能力，就會輕松解決。這一般都是用來送分的，所以遇到這樣的題，一定要淡定，方法是：

　　先求出所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用題目所給的已知條件，以上述第一種情形為例：令x=k，f(x)的導(dǎo)數(shù)為零，求解出函數(shù)中所含的參數(shù)的值，然后檢驗此時是否為函數(shù)的極值。

　　注意：

　　①導(dǎo)函數(shù)一定不能求錯，否則不只第一問會掛，整個題目會一并掛掉。保證自己求導(dǎo)不會求錯的最好方法就是求導(dǎo)時不要光圖快，一定要小心謹慎，另外就是要將導(dǎo)數(shù)公式記牢，不能有馬虎之處。

　　②遇到例子中的情況，一道要記得檢驗，尤其是在求解出來兩個解的情況下，更要檢驗，否則有可能會多解，造成扣分，得不償失。所以做兩個字來概括這一類型題的方法就是：淡定。別人送分，就不要客氣。

　　③求切線時，要看清所給的點是否在函數(shù)上，若不在，要設(shè)出切點，再進行求解。切線要寫成一般式。

　　*(2)求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間以及極值點和最值

　　一般這一類題都是在函數(shù)的第二問，有時也有可能在第一問，依照題目的難易來定。這一類題問法都比較的簡單，一般是求f(x)的單調(diào)(增減)區(qū)間或函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極大(小)值或是籠統(tǒng)的函數(shù)極值。一般來說，由于北京市高考不要求二階導(dǎo)數(shù)的計算，所以這類題目也是送分題，所以做這類題也要淡定。這類問題的方法是：

　　首先寫定義域，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且進行通分，變?yōu)榧俜质叫问健Ｍ乱话阌袃深愃悸罚皇亲咭徊娇匆徊叫停谛羞M的過程中，一點點發(fā)現(xiàn)參數(shù)應(yīng)該討論的范圍，一步步解題。這種方法個人認為比較累，而且容易丟掉一些情況沒有進行討論，所以比較推薦第二種方法，就是所謂的一步到位型，先通過觀察看出我們要討論的參數(shù)的幾個必要的臨介值，然后以這些值為分界點，分別就這些臨界點所分割開的區(qū)間進行討論，這樣不僅不會漏掉一些對參數(shù)必要的討論，而且還會是自己做題更有條理，更為高效。

　　極值的求法比較簡單，就是在上述步驟的基礎(chǔ)上，令導(dǎo)函數(shù)為零，求出符合條件的根，然后進行列表，判斷其是否為極值點并且判斷出該極值點左右的單調(diào)性，進而確定該點為極大值還是極小值，最后進行答題。

　　最值問題是建立在極值的基礎(chǔ)之上的，只是有些題要比較極值點與邊界點的大小，不能忘記邊界點。

　　注意：

　　①要注意問題，看題干問的是單調(diào)區(qū)間還是單調(diào)性，極大值還是極小值，這決定著你最后如何答題。還有最關(guān)鍵的，要注意定義域，有時題目不會給出定義域，這時就需要你自己寫出來。沒有注意定義域問題很嚴重。

　　②分類要準，不要慌張。

　　③求極值一定要列表，不能使用二階導(dǎo)數(shù)，否則只有做對但不得分的下場。

　　*(3)恒成立或在一定條件下成立時求參數(shù)范圍

　　這類問題一般都設(shè)置在導(dǎo)數(shù)題的第三問，也就是最后一問，屬于有一定難度的問題。這就需要我們一定的綜合能力。不僅要對導(dǎo)數(shù)有一定的理解，而且對于一些不等式、函數(shù)等的知識要有比較好的掌握。這一類題目不是送分題，屬于扣分題，但掌握好了方法，也可以百發(fā)百中。方法如下：

　　做這類恒成立類型題目或者一定范圍內(nèi)成立的題目的核心的四個字就是：分離變量。一定要將所求的參數(shù)分離出來，否則后患無窮。有些人總是認為不分離變量也可以做。一些簡單的題目誠然可以做，但到了真正的難題，分離變量的優(yōu)勢立刻體現(xiàn)，它可以規(guī)避掉一些極為繁瑣的討論，只用一些簡單的代數(shù)變形可以搞定，而不分離變量就要面臨著極為麻煩的討論，不僅浪費時間，而且還容易出差錯。所以面對這樣的問題，分離變量是首選之法。當然有的題確實不能分離變量，那么這時就需要我們的觀察能力，如果還是沒有簡便方法，那么才會進入到討論階段。

　　分離變量后，就要開始求分離后函數(shù)的最大或者最小值，那么這里就要重新構(gòu)建一個函數(shù)，接下來的步驟就和(2)中基本相同了。

　　注意：

　　①分離時要注意不等式的方向，必要的時候還是要討論。

　　②要看清是求分離后函數(shù)的最大值還是最小值，否則容易搞錯。

　　③分類要結(jié)合條件看，不能拋開大前提自己胡搞一套。

　　最后，這類題還需要一定的不等式知識，比如均值不等式，一些高等數(shù)學(xué)的不等數(shù)等等。這就需要我們有足夠的知識儲備，這樣做起這樣的題才能更有效率。

　　(4)構(gòu)造新函數(shù)對新函數(shù)進行分析

　　這類題目題型看似復(fù)雜，但其實就是在上述問題之上多了一個步驟，就是將上述的函數(shù)轉(zhuǎn)化為了另一個函數(shù)，并沒有本質(zhì)的區(qū)別，所以這里不再贅述。

　　(5)零點問題

　　這類題目在選擇填空中更容易出現(xiàn)，因為這類問題雖然不難，但要求學(xué)生對與極值和最值問題有更好的了解，它需要我們結(jié)合零點，極大值極小值等方面綜合考慮，所以更容易出成填空題和選擇題。如果出成大題，大致方法如下：

　　先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分析求解出函數(shù)的極大值與極小值，然后結(jié)合題目中所給的信息與條件，求出在特定區(qū)間內(nèi)，極大值與極小值所應(yīng)滿足的關(guān)系，然后求解出參數(shù)的范圍。

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