高中數學拋物線練習題一、選擇題

　　1.(2013·宜春模擬)動點P到點A(0,2)的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,則動點P的軌跡方程為(　　)

　　(A)y2=4x (B)y2=8x

　　(C)x2=4y (D)x2=8y

　　2.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點在圓x2+y2+2x-3=0上,則p=(　　)

　　(A) (B)1 (C)2 (D) 3

　　3.拋物線y=-2x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是(　　)

　　(A) (B) (C)- (D)-

　　4.正三角形的一個頂點位于原點,另外兩個頂點在拋物線y2=4x上,則這個正三角形的邊長為(　　)

　　(A)4 (B)8 (C)8 (D)16

　　5.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為(　　)

　　(A)x=1 (B)x=-1

　　(C)x=2 (D)x=-2

　　6.直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，且交拋物線于A，B兩點，交其準線于C點，已知|AF|=4，=3，則p=(　　)

　　(A)2 (B) (C) (D)4

　　7.(2013·西安模擬)若雙曲線-=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2,線段F1F2被拋物線x=y2的焦點分成3∶2的兩段,則此雙曲線的離心率為(　　)

　　(A) (B) (C) (D)

　　8.(能力挑戰題)若已知點Q(4,0)和拋物線y=x2+2上一動點P(x,y),則y+|PQ|最小值為(　　)

　　(A)2+2 (B)11

　　(C)1+2 (D)6

　　高中數學拋物線練習題二、填空題

　　9.以拋物線x2=16y的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切的圓的方程為　　　.

　　10.(2013·巢湖模擬)拋物線y=x2的焦點與雙曲線-=1的上焦點重合,則m=　　　　.

　　11.(2013·銅川模擬)已知點P是拋物線y2=4x上的動點,點P在y軸上的射影是M,點A的坐標是(4,a),則當|a|>4時,|PA|+|PM|的最小值是　　　　.

　　高中數學拋物線練習題三、解答題

　　12.已知圓心為P的動圓與直線y=-2相切,且與定圓x2+(y-1)2=1內切,記點P的軌跡為曲線E.

　　(1)求曲線E的方程.

　　(2)設斜率為2的直線與曲線E相切,求此時直線到原點的距離.

　　13.(2013·寶雞模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2).

　　(1)求拋物線C的方程,并求其準線方程.

　　(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

　　14.(能力挑戰題)如圖,曲線C1是以原點O為中心,F1,F2為焦點的橢圓的一部分,曲線C2是以原點O為頂點,F2為焦點的拋物線的一部分,A,B是曲線C1和C2的交點且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=,|AF2|=.

　　(1)求曲線C1和C2的方程.

　　(2)設點C,D是曲線C2所在拋物線上的兩點(如圖).設直線OC的斜率為k1,直線OD的斜率為k2,且k1+k2=,證明:直線CD過定點,并求該定點的坐標.

　　高中數學拋物線練習題答案

　　1.【解析】選D.由已知得,動點P到點A(0,2)的距離與它到直線l:y=-2的距離相等,根據拋物線的定義得,該軌跡為以A(0,2)為焦點,y=-2為準線的拋物線,且=2,∴p=4.又焦點在y軸上,開口向上,所以所求方程為:x2=8y.

　　2.【解析】選C.由已知(,0)在圓x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,

　　即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).

　　3.【解析】選D.由拋物線y=-2x2得x2=-y,

　　所以其焦點為F(0,-),

　　設點M縱坐標為y0,

　　由拋物線定義得-y0=1,得y0=-.

　　【方法技巧】求解拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離問題的技巧

　　拋物線上的點到焦點的距離與拋物線上的點到準線的距離經常相互轉化:(1)若求點到焦點的距離,則可聯想點到準線的距離;(2)若求點到準線的距離,則經常聯想點到焦點的距離.解題時一定要注意.

　　4.【解析】選B.設其中一個頂點為(x,2),∵是正三角形,∴=tan 30°=,即=,

　　∴x=12.

　　∴除原點外的另外兩個頂點是(12,4)與(12,-4),

　　∴這個正三角形的邊長為8.

　　5.【解析】選B.方法一:設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知直線AB的方程為:y=x-,與y2=2px聯立得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,

　　由題意知:y1+y2=4,

　　∴p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,

　　其準線方程為x=-1,故選B.

　　方法二:設A(x1,y1),B(x2,y2),

　　由題意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,

　　兩式相減得:kAB====1,∴p=2,

　　∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.

　　6.【解析】選C.過A，B分別作準線的垂線交準線于E，D.因為|AF|=4，=3，所以|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，設|BF|=|BD|=a，則|BC|=3a，根據三角形的相似性可得=，即=，解得a=2，所以=，即==，

　　所以p==，選C.

　　7.【解析】選D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),

　　拋物線x=y2,即y2=2bx的焦點F(,0),

　　依題意=.

　　即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,

　　又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,

　　解得c=a.

　　故雙曲線的離心率為=.

　　8.【解析】選D.拋物線y=+2的準線是y=1,焦點F(0,3).用拋物線的定義:設P到準線的距離為d,

　　則y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,(當且僅當F,Q,P共線時取等號)

　　故y+|PQ|的最小值是6.

　　9.【解析】拋物線x2=16y的焦點為(0,4),準線方程為y=-4,故圓的圓心為(0,4),又圓與拋物線的準線相切,所以圓的半徑r=4-(-4)=8,所以圓的方程為x2+(y-4)2=64.

　　答案:x2+(y-4)2=64

　　10.【解析】因為拋物線y=x2的標準方程為x2=16y,焦點坐標為(0,4),又因為雙曲線-=1的上焦點坐標為(0,),依題意有4=,解得m=13.

　　答案:13

　　【誤區警示】本題易出現y=x2的焦點為(0,)的錯誤,原因是對拋物線的標準方程記憶不準確.

　　11.【解析】由y2=4x得,拋物線的焦點F(1,0),準線方程為x=-1,

　　由|a|>4知點A(4,a)在拋物線的外部,

　　要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,這只需點A,P,F三點共線即可,此時:(|PA|+|PF|)min==,所以:|PA|+|PM|的最小值為(|PA|+|PF|)min-1=-1.

　　答案:-1

　　12.【解析】(1)由題意,得點P到直線y=-1和點(0,1)距離相等,

　　∴點P的軌跡是以點(0,1)為焦點,以直線y=-1為準線的拋物線,

　　∴曲線E的方程是x2=4y.

　　(2)設斜率為2的直線方程為y=2x+m,

　　由消去y,得x2-8x-4m=0,

　　由直線與曲線E相切,得Δ=(-8)2+16m=0,

　　得m=-8,

　　∴直線方程為y=2x-8,即2x-y-8=0.

　　∴原點到直線的距離為d==.

　　13.【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1,

　　所以p=2.故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.

　　(2)存在.假設存在符合題意的直線l,

　　其方程為y=-2x+t.

　　由得y2+2y-2t=0.

　　∵直線l與拋物線C有公共點,

　　∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.

　　由直線OA與l的距離d=,可得=,

　　解得t=±1.

　　∵-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞).

　　∴符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.

　　14.【解析】(1)設A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲線C1所在橢圓的長軸長為2a,則2a=|AF1|+|AF2|=6.

　　又由已知及圓錐曲線的定義得:

　　(xA-c)2+=,(xA+c)2+=,xA+c=,

　　得:(xA-c)2=.又∵∠AF2F1為鈍角,

　　∴xA-c=,故xA=,c=1,

　　即曲線C1的方程為+=1(-3≤x≤),

　　曲線C2的方程為y2=4x(0≤x≤).

　　(2)設直線OC的方程為:y=k1x,

　　由

　　得(k1x)2-4x=0,即C(,),

　　同理得:D(,),

　　∴直線CD的方程為:y-=(x-),即y=x+2,

　　當x=0時,恒有y=2,即直線CD過定點(0,2).

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