高中數(shù)學函數(shù)的值域與最值知識點
高中數(shù)學函數(shù)的值域與最值知識點
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:
(1)直接法:亦稱觀察法,對于結構較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應用不等式的.性質,直接觀察得出函數(shù)的值域。
(2)換元法:運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當根式里一次式時用代數(shù)換元,當根式里是二次式時,用三角換元。
(3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f—1(x)的定義域和值域間的關系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得。
(4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。
(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。
(6)判別式法:把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。
(7)利用函數(shù)的單調性求值域:當能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性,可采用單調性法求出函數(shù)的值域。
(8)數(shù)形結合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結合求函數(shù)的值域。
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值。因此求函數(shù)的最值與值域,其實質是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異。
如函數(shù)的值域是(0,16],最大值是16,無最小值。再如函數(shù)的值域是(—∞,—2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無最大值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時,函數(shù)的最小值為2。可見定義域對函數(shù)的值域或最值的影響。
3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用
函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”,“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上,求解時要特別關注實際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值。
函數(shù)的值域
1求函數(shù)值域的方法
①直接法:從自變量x的范圍出發(fā),推出y=f(x)的取值范圍,適合于簡單的復合函數(shù);
②換元法:利用換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)求值域,適合根式內外皆為一次式;
③判別式法:運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;
④分離常數(shù):適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);
⑤單調性法:利用函數(shù)的單調性求值域;
⑥圖象法:二次函數(shù)必畫草圖求其值域;
⑦利用對號函數(shù)
⑧幾何意義法:由數(shù)形結合,轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)
高中數(shù)學學習方法匯總
1.不少同學都會有個相同的錯誤,就是在老師講課的時候,拼命的做筆記,做計算。這都是徒勞或者是低效的。最有效的是拋開一切,認真理解老師的解題思路,千萬不要糾結某個計算結果或者是某個環(huán)節(jié),你所要理解的是,一道題如何一環(huán)環(huán)的解開和每一個環(huán)節(jié)的原理。
2.要學好高中數(shù)學,最主要的是自己做題,千萬不可依賴老師或者同學,不提倡題海戰(zhàn)術,因為做一道新題要比你做一百道同樣的題強很多。每做完一道題,要總結出解題的思路方法。
3.整個高中最難的一塊就是函數(shù),而函數(shù)又恰巧學在前面,導致很多學生受挫。函數(shù)一塊的話,可以先了解一下函數(shù)圖象的一塊,借助圖象來解函數(shù)問題,非常方便。
4.看書能明白,聽老師講題覺得很簡單,但一到自己做,就不會了。這是一個通病。主要原因不是因為高中的數(shù)學有多難,而是思維沒有轉變過來。初中的題一般比較簡單,所以死記解題方法都可以,但是高中數(shù)學就不行了。
高中數(shù)學相對初中數(shù)學特點
1.教材內容方面:
高中數(shù)學教材,較多研究的是變量和集合,不但注重定量計算,且需作定性研究。即:內容多、抽象性、理論性強。
2.教學方法方面:
高中教師在處理高中教材時沒有充裕的時間去反復強調教材內容,他們在教學中,不僅要對教材中的概念、公式、定理和法則加以認真講解,還要重視學生各種能力的培養(yǎng)。對習慣于“依樣畫葫蘆”缺乏“舉一反三”能力的高一學生,顯然不能維持原有的學習方法。
3.學習方法方面:
進入高中后,則要求學生勤于思考、勇于鉆研、善于觸類旁通、舉一反三、歸納探索規(guī)律。
4.課程要求方面:
由于高中數(shù)學內容難度增大,數(shù)學知識的應用增加,要求學生會使用文字、符號和圖形等數(shù)學語言表達問題進行交流,對能力提出更高的要求。
高中數(shù)學學習方法
課前預習
一個老生常談的話題,也是提到學習方法必將的一個,話雖老,雖舊,但仍然是不得不提。雖然大家都明白該這樣做,但是真正能夠做到課前預習的能有幾人,課前預習可以使我們提前了解將要學習的知識,不至于到課上手足無措,加深我們聽課時的理解,從而能夠很快的吸收新知識。
記筆記
這里主要指的是課堂筆記,因為每節(jié)課的時間有限,所以老師將的東西一般都是精華部分,因此很有必要把它們記錄下來,一來可以加深我們的理解,好記性不如爛筆頭嗎,二來可以方便我們以后復習查看。如果對課堂講述的知識不理解的同學更應該做筆記,以便課下細細琢磨,直到理解為止。
課后復習
同預習一樣,是個老生常談的話題,但也是行之有效的方法,課堂的幾十分鐘不足以使我們學習和消化所學知識,需要我們在課下進行大量的練習與鞏固,才能真正掌握所學知識。
涉獵課外習題
想要在數(shù)學中有所建樹,取得好成績,光靠課本上的知識是遠遠不夠的,因此我們需要多多涉獵一些課外習題,學習它們的解題思路和方法,如果實在不能理解,可以問問老師或者同學。
學會歸類總結
學習數(shù)學要記得東西很多,尤其是數(shù)學公式,而且知識還很散,通常解一道題需要各種公式的配合,如果單純的記憶每個公式,不但增加記憶量,而且容易忘,此時我們必須學會歸類總結,把經常搭配使用的公式等總結在一起記憶,這樣會大大的減少我們的記憶量,同時提高我們做題效率。
建立糾錯本
我們在學習數(shù)學的時候可能會經常因為同樣一類題目而失分,自己也十分懊惱,其實有辦法可以解決這個問題,就是建立糾錯本,幫我們經常會出錯的題目都集中在一起(當然只要是做錯過得都可以記錄上),然后空閑的時候看看,考試之前再看看,這樣考試的時候出現(xiàn)同類題目再出錯的幾率就降低好多。
寫考試總結
寫考試總結是一個好習慣,考試總結可以幫我們找出學習之中不足之處,以及我們知識的薄弱環(huán)節(jié),從而及時的彌補不足,以及以后的學習方向。